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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
f) $f(x)=\sqrt{x}$ orden 3 $x_{0}=4$
f) $f(x)=\sqrt{x}$ orden 3 $x_{0}=4$
Respuesta
Para calcular el polinomio de Taylor de la función \( f(x) = \sqrt{x} \) de orden 3 centrado en \( x_0 = 4 \), seguimos los pasos que venimos haciendo:
La estructura del polinomio de Taylor que estamos buscando es:
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$ p(x) = f(4) + f'(4)(x - 4) + \frac{f''(4)}{2!}(x - 4)^2 + \frac{f'''(4)}{3!}(x - 4)^3 $
Ahora necesitamos calcular las derivadas de \( f(x) = \sqrt{x} \) y evaluarlas en \( x_0 = 4 \):
$f(x)=\sqrt{x}$
$f(4) = 2$
$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ f'(4) = \frac{1}{4} $
$ f''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}} $
$ f''(4) = -\frac{1}{32} $
$ f'''(x) = \frac{3}{8x^{5/2}} $
$ f'''(4) = \frac{3}{256} $
Sustituimos los valores que obtuvimos en el esqueleto de nuestro Taylor:
$ p(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{2!}(x - 4)^2 + \frac{3}{256} \cdot \frac{1}{3!}(x - 4)^3 $
Reacomodamos un poco:
$ p(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{64}(x - 4)^2 + \frac{1}{512}(x - 4)^3 $